【数学】確率の不思議で面白い問題 あなたは解けますか？/モンティ・ホール/子どもの性別/同じ誕生日の確率

①３つの箱があり、１つは「あたり」、２つは「はずれ」です
②回答者は１つの箱を選びます
③出題者は残り２つの箱のうち１つをオープンします（※必ず「はずれ」をオープンします）
④回答者は「最初に選んだ箱を、残されたオープンされていない箱に変更してもよい」と言われる
Q．回答者は（「あたり」を引き当てるために）箱を変更すべきですか？

答え．変更すべき

直感では“どちらを選んでも変わらない”と思った方が多いのではないでしょうか。

【解説】：変更しないと「あたり」を引く確率は$ \frac{1}{3} $のまま、変更すると「あたり」を引く確率は$ \frac{2}{3} $となります。

例えば箱をa,b,cとし、最初に選んだ箱をaとしましょう。この時点でaに「あたり」がある確率は$ \frac{1}{3} $、b,cに「あたり」がある確率は$ \frac{2}{3} $です。

この状況でもしb,cのどちらかに「あたり」があれば出題者は残された１つの「はずれ」をオープンするので、変更することで必然的に「あたり」を獲得できます。

言い換えれば、b,cに「あたり」があるなら変更すれさえすれば当たりが引けるんです。

■aに「あたり」がある確率は$ \frac{1}{3} $
■b,cに「あたり」がある確率は$ \frac{2}{3} $

ですから変更すれば「あたり」を引く確率は２倍に跳ね上がるのです。

解りにくい方は箱100個で考えてみましょう。

1～100の箱の中に「あたり」は１つ。好きな箱を選んでください。

あなたが選んだ箱ともう１つの箱の２箱だけ残し、残りの98個の「はずれ」の箱を全部開けます。

「変えたかったら変えてもいいよ？」と言われたらどうしますか？最初の選択で$ \frac{1}{100} $を選んでる自信はないですよね。
もう１つの箱には無条件に開けられた98個分の箱の確率も乗り$ \frac{99}{100} $もの確率に引き上げられているんです。

ある家庭に２人の子どもがいます。
そのうちの１人は男の子です。
それではもう１人の子どもも男の子である確率はいくらでしょう？

答え．$ \frac{1}{3} $

【解説】：直感では$ \frac{1}{2} $と感じた方が多いのではないでしょうか。表で確認してみましょう。

２人の子どもがいた場合の男女の組み合わせは｛兄・弟｝、｛兄・妹｝、｛姉・弟｝、｛姉・妹｝の４通り。確率はそれぞれ均等で$ \frac{1}{4} $ずつになります。
この問題では１人が男の子とわかっているため男女の組み合わせとそれぞれの確率は次のようになります。

１人が男と確定しているのでその時点で｛姉・妹｝の可能性は０になってしまうのです。残された組み合わせの確率はそれぞれ均等になるので$ \frac{1}{3} $ずつとなります。
問題のもう１人も男の子である確率は｛兄・弟｝となる時なので$ \frac{1}{3} $になるわけです。
反対にもう一人が女の子である確率は｛兄・妹｝、｛姉・弟｝となる時なので$ \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $になります。

40人のクラスに同じ誕生日の人がいる確率は？ (2月29日も含みます)

A.約１５％　B.約３７％　C.約５４％　D.約８９％

答え．D.約８９％

【解説】：確率は“知りたい出来事の確率＋その反対の確率＝１（100%）”となりますね。
３本のくじがあって「当たり」が１本の場合は、“「当たり」を引く確率$ \frac{1}{3} $＋「当たり」を引けない確率$ \frac{2}{3}=１ $”となります。
この問題もそれを利用して“同じ誕生日の人がいない確率”を出して１から引いてやればいいのです。
“同じ誕生日の人がいない確率”は…
１人目の誕生日は365日のうちどの日でもいいので$ \frac{366}{366} $、１人目は１人目と同じ日になってはいけないので１人目の誕生日を除いた$ \frac{365}{366} $。
同様に３人目は１人目、２人目の誕生日ではない日となるので$ \frac{364}{366} $となります。それ以降もおなじように前の人達とかぶらない日にしていきます。
式にすると
$$ 1-(\frac{366}{366}×\frac{365}{366}×\frac{364}{366} ...\frac{327}{366})=約0.891 $$
となり、40人の中に同じ誕生日の人がいる確率は約89%という高い確率になるのです。