数学

学びは遊びの【中1数学】徹底解説/②いろいろな計算(指数・四則計算・分配法則)を攻略しよう

学びの遊びの【中1数学】第2回目、今回解説するのは指数・四則計算・分配法則を使った計算です。

第1弾で解説した正負の計算(足し算・引き算・掛け算・割り算)が基礎となるので、まだこちらの記事を読んでいない方、正負の計算に苦手意識があるかたは確認してみてください。

今回解説する計算は今後習っていく数学の基礎となる部分です。しっかり確認しておきましょう。

指数計算

同じ数字を複数回かける時に使うのが指数計算です。
$$2×2=2^2$$
$$3×3=3^2$$
$$2×2×2×2=2^4$$
というように表します。右の小さい数字が何回その数字を掛けるかを表していて指数といいます。読み方は「乗(ジョウ)」で
$2^2$(2の2乗) , $3^5$(3の5乗) , $7^3$(7の3乗) というように読みます。

このように指数計算は左の大きい数字を右上の小さい数の回数だけ掛ければよいのです。
注意点としては暗算の際に$8^2=8×8=64$を$8×2$で計算してしまい16と答えを出してしまうことです。

また、負(マイナス)の指数計算の際には少し注意が必要です。

負(マイナス)の数の指数計算

負に数の指数計算で気を付けるのは1つ

$-〇^2$ なのか $(-〇)^2$ なのかという点です。

$-〇^2$

前者の$-〇^2$の場合は$〇^2$にマイナスが付いていると考えます。
掛け算になおすと
$$-(〇×〇)$$
2乗してからマイナスをつけるのでこの計算の答えには必ずマイナスが付きます。

たとえば$-3^2$の場合、$-(3×3)$となり答えは$3^2$にマイナスが付くので$-9$となります。

$(-〇)^2$

一方、$(-〇)^2$の場合は$-〇$というマイナスの数を2回掛けるので
$$(-〇)×(-〇)$$
となり、マイナス×マイナスの式になり答えはプラスとなります。(※マイナス×マイナスの式がプラス,がイマイチ解らないという方は学びは遊びの【中1数学】徹底解説/①で確認してください)

ポイント

お気づきの方も多かもしれませんが、$(-〇)^x$の形の式の場合、指数が偶数か奇数かで答えの符号が決まります。
$(-2)^2=4$$(-2)^3=-8$$(-2)^4=16$$(-2)^5=-32$・・・
慣れてくると自然と身についてくるものですがここで頭の中に入れておきましょう

四則計算

ここまで 足し算・引き算 と 掛け算・割り算 それぞれの計算をしてきました。
ここからは足し算・引き算・掛け算・割り算が混じった計算(四則計算)について解説していきます。

まず、計算という作業にはルールがあり、優先順位が決められています。
優先順位は、
①カッコの計算(カッコには大カッコ{}、小カッコ()があり小ーカッコが優先)
②掛け算・割り算
③足し算・引き算
となっているので、この順番で計算していきます。
また掛け算・割り算や足し算・引き算のように同じ優先順位の計算は左から計算するというルールがあります。

実際に問題を見ていきましょう。

$$-5-(-3)×4$$

この式には②掛け算・割り算③足し算・引き算が含まれています。②⇒③の順番で計算しましょう。
$ -5-$$(-3)×4$ ②掛け算・割り算
$=-5-(-12)$ ()を外すと
$=-5+12$
$=7$

$$-3×(5-3)+2$$

この式には①カッコ、②掛け算、③足し算・引き算が含まれています。優先順位は①⇒②⇒③です。
$ -3×(5-3)+2$ ①カッコの計算から
$=-3×2+2$ ②掛け算
$=-6+2$ ③足し算
$-4$

$$3+8÷{-3+(2-3)}$$

①カッコの式(大カッコ・小カッコ)、②割り算、③足し算・引き算 すべて含まれてる式です。
①⇒②⇒③の優先順位さえ守ればスムーズに計算できるはずです。
$ 3+8÷{-3+(2-3)}$ ①まず小カッコの計算
$=3+8÷{-3+(-1)}$ ①大カッコの計算
$=3+8÷(-4)$ ②割り算
$=3+(-2)$ ③足し算
$=1$

このように複雑な計算も、優先順位とルールを守りながら1つ1つ計算していけば必ず答えにたどり着くことができます。
最初は時間がかかっても問題数をこなしていくうちに慣れ、かかる時間も短くなっていくはずです。

分配法則

$$a×(b+c)=ab+ac$$
⇒カッコを外す

$$ab+ac=a(b+c)$$
⇒まとめる

分配法則とは、カッコの計算に掛け算・割り算がくっ付いてる式に使える法則です。

これ、①さきほどの四則計算の優先順位でいくと先にカッコの中を計算して[(b+c)]⇒それにくっ付いてる掛け算を計算する[a×(b+c)]という順番になるのですが、
カッコの中の数字それぞれにaを掛けてから足しても[ab+ac]答えは同じになりカッコを外せる。
また、②同じ数を掛けている・掛けられている計算[ab+ac]はまとめることができる[a(b+c)]
という法則です。

この分配法則はめんどくさい計算を計算しやすくするためのものだと考えてください。
例えばこれ、
$$(\frac{3}{7}-\frac{1}{4})×28$$
この式は優先順位で考えればカッコの分数の引き算からになります。
ただ、分数の足し算・引き算って通分があってめんどくさいですよね。
そんな時カッコの外の×28に注目します。分配法則で28をそれぞれに掛ければ整数にできる!
$ (\frac{3}{7}-\frac{1}{4})×28$
$=(\frac{3}{7}×28)-(\frac{1}{4}×28)$
$=12-7$
$=5$

次は
$$33×66+33×34$$
優先順位から計算すると$33×66$と$33×34$をまず計算することになりますが、、これはめんどくさいですね。
ただこの式、66と34にそれぞれ同じ33を掛けています。分配法則が使えますね。
このめんどくさい式を分配法則を使ってまとめると…
$ 33×66+33×34$
$=33×(66+34)$
$=33×(100)$
$=3300$

どちらの式もそのまま計算するより簡単になりましたね。
分配法則はそれを利用し、分配してカッコを外す または 同じ数を掛けている計算をまとめて計算をしやすくする法則です。
問題では「分配法則を利用して次の計算をしなさい」と指定がある場合が多いです。
分配法則を使うとわかれば、あとは先にカッコを外す もしくは 同じ数字を掛けてある箇所を見つける という作業に取り掛かれば良いのです。

さいごに

以上、『学びは遊びの【中1数学】徹底解説/②いろいろな計算(指数・四則計算・分配法則)を攻略しよう』について解説いたしました。

学びは遊びの【中1数学】徹底解説シリーズ 他もぜひ参考にしてみてください。
学びは遊びの【中1数学】徹底解説/①正負の計算(足し算・引き算・掛け算・割り算)を攻略しよう
■③以降 Coming Soon...

数学の計算問題はルールをしっかり頭に入れて反復練習をすることが習得の近道です。

またこれらの計算はあらゆる問題の基礎となります。
しっかり身につけておかなければ、また計算の復習に戻ってこなければなりません。

回数をこなししっかりと身に着けておきましょう。

 

 

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